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Problema com a derivada de uma função composta

Problema com a derivada de uma função composta

Mensagempor DavidUserCalc » Qui Abr 01, 2010 14:44

To com problemas para encontrar a derivada da função y={\left(\frac{x^3}{8}+x-\frac{1}{x}\right)}^{-4} até comecei a fazer mais errei:
y\prime={-4\left(\frac{x^3}{8}+x-\frac{1}{x}\right)}^{-5}*\left(\frac{3x^2}{8}+1+\frac{1}{x^2}\right)

y\prime=-4\frac{\left(\frac{3x^2}{8}+1+\frac{1}{x^2}\right)}{\left(\frac{x^3}{8}+x-\frac{1}{x}\right)^5}

Tá ai só que a resposta correta é y\prime=\frac{4\left(\frac{x}{8}+1+\frac{1}{x^2}\right)}{\left(\frac{x^3}{8}+x-\frac{1}{x}\right)^5}
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Re: Problema com a derivada de uma função composta

Mensagempor Molina » Qui Abr 01, 2010 16:56

Boa tarde, David.

Refiz seus cálculos e cheguei no mesmo resultado que você obteve.

Não vejo como ser 4 (ao invés de -4), pois o expoente vai pra frente multiplicando. Outra diferença nas resposta é o \frac{3x^2}{8} que vem da derivação de \frac{x^3}{8}. Então também acho que está correto.

Uma boa atividade pro feriadão seria integrar esse seu resultado para ver se está certo, hahaha :lol:


Bom estudo! :y:
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}